MathCraft · Coloreo del icosaedro truncado

Icosaedro truncado

12 pentágonos + 20 hexágonos

Arrastra para rotar · Haz clic sobre una cara para seleccionarla.

Grafo dual

pentakis dodecaedro

Nodos grandes: pentágonos · Nodos pequeños: hexágonos.

Construcción de las 32 caras32/32

Datos del grafo dual

Vértices32

Aristas90

N.º cromático4

12 vérticesgrado 5
pentágonos

20 vérticesgrado 6
hexágonos

¿Cómo se obtiene el grado?

Una cara pentagonal comparte sus cinco lados con cinco hexágonos, por lo que su vértice dual tiene grado 5. Cada hexágono comparte tres lados con pentágonos y tres con hexágonos, por lo que su vértice dual tiene grado 6.

deg(P)=5
deg(H)=3+3=6

Pentágono P1

Está conectado con cinco hexágonos.

deg(P1)=5

Lema del apretón de manos:

12·5 + 20·6 = 180 = 2·90

Demostración de que se necesitan 4 colores

Seleccionamos un pentágono y analizamos los cinco hexágonos que lo rodean.

1Elegir un pentágono: su vértice dual tiene grado 5.

2Sus cinco hexágonos vecinos forman un ciclo impar C₅.

3El ciclo C₅ necesita tres colores.

4El pentágono es adyacente a los cinco y necesita un cuarto color.

5Como el grafo es plano, cuatro colores también son suficientes.

deg(P)=5

Coloración mostrada

Los hexágonos se colorean con tres colores y todos los pentágonos con un cuarto color.

Pentágonos: cuarto color.

Hexágonos: tres colores.

Preguntas para explorar

1¿Por qué los pentágonos no son adyacentes entre sí?

2¿Por qué los cinco hexágonos vecinos forman un ciclo C₅?

3¿Por qué el grado 5 por sí solo no basta para justificar cuatro colores?

4¿Qué diferencia existe entre el grado de un pentágono y el de un hexágono?

¿Por qué el icosaedro truncado necesita cuatro colores?

Icosaedro truncado

Grafo dual